Generación de una corriente de gravedad en un tanque rectangular
Mariano Verón, Facundo
Carmona Fluidodinámica
Experimental Cursada 2007
Introducción:
Corrientes de Gravedad Una corriente de gravedad,o de densidad, es un flujo de un fluido dentro de otro generado por una diferencia de densidad entre ambos. La parte delantera de la corriente de gravedad es denomina cabeza, constituye una zona en el cuál el mezclado intenso y las inestabilidades presentes en la interfase juegan un papel importante en el control del fluido menos profundo que le sigue. La forma de la cabeza promediada temporalmente en un sistema de referencia que se mueve con la cabeza permanece cuasi-estacionaria si la corriente viaja horizontalmente, mientras que en una superficie inclinada aumenta su tamaño relativo con la pendiente de la superficie sobre la que avanza.
El frente usualmente presenta su punto más avanzado levantado respecto del fondo conformando la nariz. La altura de la cabeza varía con el Re y la fracción f de la profundidad total del fluido ocupado por la corriente. También influyen el flujo opuesto del fluido ambiente, el flujo que le sigue a la cabeza, la turbulencia del entorno y los efectos viscosos. Los dos tipos de inestabilidades responsables del mezclado son evidenciadas gracias a la presencia de “rollos”, vórtices o billows de fluido en la zona frontal de la interfase, y de una compleja estructura de entrantes y salientes (o lobes y clefts) que es originada por la influencia del piso sobre la parte inferior de la zona frontal de la corriente. Los vórtices (ó billows) en el frente tienen propiedades asociadas a la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz formada en la interfase entre dos fluidos de distinta densidad en movimiento relativo uno respecto al otro. La inestabilidad puede ocurrir para un cierto rango de valores del cambio de velocidad U en una distancia h, con la diferencia de densidad dada por la gravedad reducida g`. El número adimensional relevante aquí es el número de Richardson Ri = (g`.h)/ U2. La inestabilidad de K-H usualmente ocurre para Ri < 0,25.
Debido al no-deslizamiento del fluido próximo al piso estacionario, ingresa fluido ambiente debajo de la corriente y arrastra fluido denso hacia atrás. El punto de estancamiento está levantado sobre el piso y se genera una pequeña circulación cerca del piso. Algo de fluido ambiente pasa por debajo de la nariz y al ser menos denso que el fluido de la corriente el flujo es inestable. Este flujo inestable genera la compleja estructura de entrantes y salientes. La velocidad de avance U de una corriente de gravedad típica evolucionando en el seno de un fluido ligeramente menos denso de densidad r puede ser aproximada por:
Durante el desarrollo de una Corriente de Gravedad densa generada a partir de la liberación de un volumen finito de fluido se distinguen tres etapas:
Primera fase: Velocidad constante Primero, luego del ajuste inicial de la corriente (cuando se libera), se presenta una etapa de slumping en el cual el frente avanza con velocidad constante . La corriente es dominada por las fuerzas de inercia y flotación. La transición de la primera a la segunda etapa ocurre cuando una perturbación alcanza al frente.
Segunda etapa: Flujo autosimilar La segunda etapa es denominada “inercial autosimilar”, debido a que se mantiene la forma de la corriente. En ella la altura de la corriente y la velocidad del frente se reducen paulatinamente. Esta etapa, cuando se presenta, suele ser de muy corta duración. Particularmente cuando se derraman volúmenes muy pequeños la corriente puede entrar al régimen viscoso desde la etapa de velocidad constante.
Tercera etapa: etapa viscosa La tercera etapa es la etapa viscosa, el flujo es dominado por las fuerzas viscosas y las de flotación. Cuando la altura de la corriente alcanza un valor muy pequeño, el flujo entra en una etapa que es dominada por la tensión superficial. Si el fluido de la corriente es muy viscoso puede ingresar en la etapa viscosa directamente, salteando la etapa autosimilar.
Diagnostica para la evaluación cuantitativa de los flujos de gravedad
La diagnóstica implementada se basa en la reducción de la intensidad de luz transmitida desde el panel de iluminación a través de una solución que contiene un colorante pasivo. La reducción permite hallar la concentración del colorante y cualquier otra característica escalar del fluido que se varíe proporcionalmente con dicha concentración a menos de un factor de escala, como por ejemplo la densidad. En efecto, la intensidad I captada por una videocámara CCD luego de ser emitida por la fuente y de atravesar el fluido con colorante, decrece exponencialmente dependiendo del tipo de iluminación, del colorante elegido y de su concentración C, y del ancho L del canal en la forma:
donde A, B,y l son constantes que dependen del tipo de colorante. Como la Ec. (1) debe valer para todo valor de LC/ l, en particular si es nulo, deducimos que A+B = I0, siendo I0 la intensidad captada por la cámara cuando no hay colorante en el fluido. Consideremos el caso en el que se trabaja con dos fluidos miscibles: un fluido de densidad r1 con una concentración C0 de colorante, y otro de densidad r2 sin colorante adicionado. La intensidad captada por la CCD asociada con la concentración máxima C0 del fluido coloreado es:
Cuando se produce el mezclado entre ambos fluidos, la concentración C es proporcional a la densidad r de la solución resultante, por lo que 
Para que la intensidad de los píxeles sea proporcional a la densidad debemos aplicar la transformación (6). Conviene además maximizar el rango de intensidades correspondientes a la densidad eligiendo la constante D tal que Dr/ Dr0 = 255 cuando I(C)=I1=I(C0). La proporcionalidad directa entre las intensidades absolutas y las intensidades de las imágenes capturadas no es posible de obtener aun usando cámaras de video y plaquetas digitalizadoras de calidad ajustadas para dar una respuesta lineal en intensidad (uso de señal monocromática, Gamma = 1, ganancia mínima, etc.).
La Fig. 1 muestra una curva típica de respuesta o transferencia (línea continua) de la intensidad Q en la imagen digital obtenida en función de la intensidad P que ingresa en la cámara. Como se observa, la diferencia entre la curva que representa la respuesta real del sistema y la de respuesta lineal deseada (línea de puntos) es más notoria para intensidades pequeñas. Por lo tanto, previo a la transformación (6) debemos realizar una transformación correctora construida a partir de una calibración absoluta.
La función matemática que aproxima a la curva de respuesta es compleja y debería constar de varios términos para lograr una buena aproximación. No obstante, una línea recta que no pase por el origen (0,0) (línea de trazos) es suficiente para intensidades P > 80-100. Luego, una vez que a la secuencia de imágenes adquiridas por la CCD y a la imagen de referencia se les aplica la corrección por cámara descripta, se realiza la corrección por fondo para eliminar las variaciones residuales de I0 causadas por irregularidades de la iluminación. En definitiva, la atenuación de la luz proveniente del panel debido a la presencia de colorante permite medir la concentración promediada transversalmente de dicho colorante y determinar la densidad en exceso respecto a la del fluido más liviano o ambiente, no coloreado. Integrando la distribución bidimensional de densidad, se puede calcular la masa relativa de la corriente de agua salada para diferentes tiempos, pero si solo es necesario comprobar su conservación, es suficiente con ver si la intensidad promedio en cada imagen es constante. (Thomas, Marino, Estela y Mandrini).
Experimento
La corriente de gravedad fue generada en un canal horizontal de sección transversal rectangular de 3.00m de largo, 0.20m de ancho y 0.60m de profundidad, con paredes de acrílico transparente. Un panel lateral de iluminación ubicado detrás de una pantalla difusora y a lo largo del canal provee un fondo luminoso aproximadamente uniforme. Dentro del tanque es colocada una compuerta removible a una distancia x0 de la pared trasera del tanque, para separar el fluido denso del ambiente. Se llena simultáneamente el compartimento y el resto del tanque con agua salada de densidad .s y agua común de densidad .a, respectivamente, hasta una altura H (0.3m). Al agua salada se le agrega una cantidad una cantidad conocida de colorante (rojo) para poder visualizar la corriente a generar. Una videocámara CCD es preparada a una distancia fija de 6.00m del tanque, conexión directa con una PC para la digitalización y almacenamiento de imágenes (512x512 píxeles). El procesamiento de imágenes se realiza empleando un programa específico, DigImage 4.5, desarrollado en Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics de la Universidad de Cambridge, Inglaterra, el cual contiene las operaciones y las funciones matemáticas básicas para describir los procesos físicos en los que se basan muchas diagnósticas implementadas al trabajar con fluidos.
Inicialmente se adquiere una imagen, que resulta de una toma promediada en el tiempo, del tanque con agua sola (sin colorante) hasta la altura H (imagen de referencia). Como a la longitud total del tanque le corresponde el máximo número de píxeles en sentido horizontal y aproximadamente 50 píxeles en el sentido vertical, se aprovecha una porción pequeña (del orden del 10%) de las imágenes digitalizadas con una pérdida significativa de la resolución vertical. Este inconveniente se soluciona colocando delante de la lente de la CCD un sistema de lentes anamórficas que disminuyen la escala horizontal y aumentan la vertical permitiendo un aprovechamiento de casi el 50% de cada imagen sin distorsiones apreciables.
El experimento comienza cuando es removida rápidamente la compuerta que separa los dos fluidos. Entonces, el fluido más denso fluye por el fondo en forma de corriente de gravedad. Simultáneamente se da inicio a la adquisición de imágenes que digitalizan la secuencia del desarrollo de la corriente.
En la gráfica 1 se describe la posición del frente de la corriente de gravedad en función del tiempo. Podemos observar, resaltado en línea roja punteada, la disminución de la pendiente que indica menor velocidad en el fin de la tapa inercial. En la gráfica 2 se describe la velocidad del frente en función del tiempo. Cada punto pertenece a una imagen instantánea de la experiencia en un tiempo determinado. Se distingue en esta gráfica un aumento inicial pronunciado de la velocidad en dirección del flujo, evidenciando una “zona de ajuste” de la corriente de gravedad al remover la compuerta. Inmediatamente se desarrolla la etapa inercial, donde el frente de la corriente avanza a velocidad constante. En las gráficas se evidencia un ligero descenso de la velocidad del frente al acercarse a los 2,00 m de recorrido de la corriente. Esto es explicado teniendo en cuenta que nos estamos acercando al fin de la primera etapa de la corriente, la cual sucede a una distancia aproximada de diez veces la longitud (en dirección al flujo) del compartimiento de fluido denso (longitud del compartimiento: l= 22,34 cm), que inicialmente separaba el agua salada del agua común (ambiente).
Tomando en cuenta que las primeras dos imágenes seleccionadas son correspondientes a la “zona de ajuste”, y las tres últimas parecen estar en transición a la segunda etapa de la corriente (etapa autosimilar), estas las obviamos en el ajuste de la curva de calibrado de la gráfica 1, así se calcula la velocidad promedio de la primera etapa. Como resultado se obtiene que la velocidad de la etapa inercial es 10,59 ± 0,05 cm/s.
Conclusiones:
Se observa en las secuencias un corte en la corriente correspondiente al sitio donde se encuentra ubicada la compuerta inicialmente. Esto se debe a que la imagen de referencia elegida contiene la compuerta y los fluidos, entonces al dividir cada imagen por la de referencia, una vez retirada la compuerta, aparece este corte en la imagen. Surge entonces un error en el cálculo de la masa y consecuentemente en su conservación. Esto se puede solucionar utilizando una referencia que contenga solamente agua hasta la altura H.
En la experiencia se observa básicamente una sola etapa ya que la longitud del canal en relación con la longitud del compartimento no es suficiente como para que el flujo alcance la siguiente etapa. La longitud del tanque en esta experiencia es cerca de 10 veces la del compartimento, por lo que al final del recorrido estaríamos observando la transición a la etapa autosimilar. Esto se evidencia por el cambio en la pendiente en los últimos puntos del la gráfica 1. Existe un problema de paralaje debido a la perspectiva en la que la cámara toma las imágenes. Se observa entonces la pared trasera del tanque en ángulo y provoca una distorsión en las imágenes corregidas, lo cual introduce un error al comprobar la conservación de la masa. Para evitar este inconveniente podría ubicarse una compuerta transparente a modo de pared trasera, lo cual reduciría este error en las imágenes corregidas.
Como devolución de la experiencia, se alcanzan los objetivos propuestos. Se logró el seguimiento de la corriente de gravedad a través de imágenes, la determinación de la posición y velocidad en el tiempo, así como también se determinó la distribución de densidad y se verificó la conservación de la masa.
Referencias:
-Medición de la concentración de trazadores pasivos, Aplicación a las corrientes de gravedad. L. P. Thomas, B. M. Marino, M. Estela, M. Mandrini. Instituto de Física Arroyo Seco, Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional del Centro, Pinto 399, 7000 Tandil, Argentina.
-Apuntes de cátedra, Fluidodinámica Ambiental, cursada 2006.
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